Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden crecimiento de la población

Anteriormente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer orden que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de \( v_0\) pies/s, entonces un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de \( t\) segundos está dado por

La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto está subiendo, la resistencia del aire actúa en dirección descendente. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente (Figura \( \PageIndex{1}\)). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a alguna constante \( k\) por \( v\). Para objetos más grandes (por ejemplo, del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a \( v^{1,5}\), o \( v^{0,9}\), o alguna otra potencia de \( v\).

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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden en ingeniería

Para aplicar los métodos matemáticos a un problema físico o de la «vida real», debemos formular el problema en términos matemáticos; es decir, debemos construir un modelo matemático para el problema. Muchos problemas físicos se refieren a relaciones entre cantidades cambiantes. Dado que las tasas de cambio se representan matemáticamente mediante derivadas, los modelos matemáticos suelen incluir ecuaciones que relacionan una función desconocida y una o varias de sus derivadas. Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales. Son el objeto de este libro.

Gran parte del cálculo se dedica a aprender técnicas matemáticas que se aplican en cursos posteriores de matemáticas y ciencias; no tendría tiempo de aprender mucho cálculo si insistiera en ver una aplicación específica de cada tema cubierto en el curso. Del mismo modo, gran parte de este libro se dedica a métodos que pueden aplicarse en cursos posteriores. Sólo una parte relativamente pequeña del libro se dedica a la derivación de ecuaciones diferenciales específicas a partir de modelos matemáticos, o a relacionar las ecuaciones diferenciales que estudiamos con aplicaciones específicas. En esta sección mencionamos algunas de esas aplicaciones. El modelo matemático para un problema aplicado es casi siempre más simple que la situación real que se estudia, ya que normalmente se requieren suposiciones simplificadoras para obtener un problema matemático que pueda ser resuelto. Por ejemplo, al modelar el movimiento de un objeto que cae, podríamos despreciar la resistencia del aire y la atracción gravitatoria de los cuerpos celestes distintos de la Tierra, o al modelar el crecimiento de la población podríamos suponer que la población crece de forma continua en lugar de en pasos discretos.

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Ecuación diferencial lineal

En muchos campos como la física, la biología o la empresa, a menudo se conoce o se supone una relación entre alguna cantidad desconocida y su tasa de cambio, que no implica ninguna derivada superior. Por ello, resulta interesante estudiar las ecuaciones diferenciales de primer orden en particular.

Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma \(F(t, y, y’)=0text{.}\) Una solución de una ecuación diferencial de primer orden es una función \(f(t)\) que hace que \ds F(t,f(t),f'(t))=0\) para todo valor de \(t\text{. Se entiende que la variable \ds F(t,f(t,f’))=0) para cualquier valor de \text{…}) Aquí, \ds F es una función de tres variables que etiquetamos como \text{,}) \ts{,} y \ts{,}) Se entiende que \ts{,} aparecerá explícitamente en la ecuación, aunque \ts{,t} y \ts{,y} no es necesario. La propia variable \(y\) depende de \(t\text{,}\) por lo que se entiende que \(y’\) debe ser la derivada de \(y\) con respecto a \(t\text{,}\) Dado que sólo aparece la primera derivada de \(y\), pero ninguna derivada de orden superior, se trata de una ecuación diferencial de primer orden.

Ecuación diferencial

Anteriormente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer orden que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de \( v_0\) pies/s, entonces un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de \( t\) segundos está dado por

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La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto está subiendo, la resistencia del aire actúa en dirección descendente. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente (Figura \( \PageIndex{1}\)). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a alguna constante \( k\) por \( v\). Para objetos más grandes (por ejemplo, del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a \( v^{1,5}\), o \( v^{0,9}\), o alguna otra potencia de \( v\).

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