Ejercicio antiderivada y teorema fundamental del cálculo

Primer teorema fundamental del cálculo

En las dos secciones anteriores hemos visto la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desgraciadamente, hasta ahora, las únicas herramientas de que disponemos para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas geométricas del área y los límites de las sumas de Riemann, y ambos enfoques son extremadamente engorrosos. En esta sección veremos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas.

Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre la diferenciación y la integración. Esta relación fue descubierta y explorada por Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a finales de 1600 y principios de 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el Teorema Fundamental del Cálculo, que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su propio nombre indica lo central que es este teorema para todo el desarrollo del cálculo.

Las aportaciones de Isaac Newton a las matemáticas y la física cambiaron nuestra forma de ver el mundo. Las relaciones que descubrió, codificadas como las leyes de Newton y la ley de la gravitación universal, se siguen enseñando hoy en día como material fundamental en física, y su cálculo ha dado lugar a campos enteros de las matemáticas. Para saber más, lea una breve biografía de Newton con clips multimedia.

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Teorema fundamental del cálculo 2

El teorema fundamental del cálculo es un teorema que relaciona el concepto de diferenciar una función (calcular el gradiente) con el concepto de integrar una función (calcular el área bajo la curva). Las dos operaciones son inversas entre sí, aparte de un valor constante que depende de dónde se empiece a calcular el área.

La primera parte del teorema, a veces llamado primer teorema fundamental del cálculo, afirma que una de las antiderivadas (también conocida como integral indefinida), digamos F, de alguna función f puede obtenerse como la integral de f con una variable límite de integración. Esto implica la existencia de antiderivadas para funciones continuas[1].

A la inversa, la segunda parte del teorema, a veces llamado segundo teorema fundamental del cálculo, afirma que la integral de una función f sobre algún intervalo puede calcularse utilizando cualquiera, digamos F, de sus infinitas antiderivadas. Esta parte del teorema tiene aplicaciones prácticas clave, porque encontrar explícitamente la antiderivada de una función mediante integración simbólica evita la integración numérica para calcular integrales.

Teorema fundamental del cálculo para hallar la derivada calculadora

En las dos secciones anteriores hemos visto la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desgraciadamente, hasta ahora, las únicas herramientas de las que disponemos para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas geométricas del área y los límites de las sumas de Riemann, y ambas aproximaciones son extremadamente engorrosas. En esta sección veremos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas.

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Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre la diferenciación y la integración. Esta relación fue descubierta y explorada por Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a finales de 1600 y principios de 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el Teorema Fundamental del Cálculo, que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su propio nombre indica lo central que es este teorema para todo el desarrollo del cálculo.

Las aportaciones de Isaac Newton a las matemáticas y la física cambiaron nuestra forma de ver el mundo. Las relaciones que descubrió, codificadas como las leyes de Newton y la ley de la gravitación universal, se siguen enseñando hoy en día como material fundamental en física, y su cálculo ha dado lugar a campos enteros de las matemáticas. Para saber más, lea una breve biografía de Newton con clips multimedia.

Teorema fundamental del cálculo ejemplos

Sea \(f(t)\Nuna función continua definida en \N[a,b]\Nla que se ha definido. La integral definida \(\displaystyle \int_a^b f(x)\\Ndx) es el «área bajo \(f \N)» en \([a,b]\Nla función.) Podemos convertir este concepto en una función dejando variar el límite superior (o inferior).

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Sea \(F(x) = \int_a^x f(t) \\N y dt\). Calcula el área bajo \(f\) en \([a,x]\) como se ilustra en la figura \(\PageIndex{1}\). Podemos estudiar esta función utilizando nuestros conocimientos de la integral definida. Por ejemplo, \(F(a)=0\) ya que \(\displaystyle \int_a^af(t) \,dt=0\).

También podemos aplicar las ideas de cálculo a \(F(x)\N; en particular, podemos calcular su derivada. Aunque esto puede parecer algo inocuo, tiene implicaciones de gran alcance, como demuestra el hecho de que el resultado se da como un teorema importante.

Este sencillo ejemplo revela algo increíble: \¡\(F(x)\Nes una antiderivada de \N(x^2+sin x\)! Por tanto, \(F(x) = \frac13x^3-cos x+C\) para algún valor de \(C\). (Podemos encontrar \(C\), pero generalmente no nos importa. Sabemos que \(F(-5)=0\), lo que nos permite calcular \(C\). En este caso, \(C=\cos(-5)+\frac{125}3\).

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