Desarrollo del calculo integral

isaac newton

Hoy en día se cree que el cálculo fue descubierto de forma independiente a finales del siglo XVII por dos grandes matemáticos: Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Sin embargo, la disputa sobre quién descubrió primero el cálculo se convirtió en un gran escándalo a finales del siglo XVIII.

Como la mayoría de los descubrimientos científicos, el descubrimiento del cálculo no surgió del vacío. De hecho, muchos matemáticos y filósofos que se remontan a la antigüedad hicieron descubrimientos relacionados con el cálculo.

Los antiguos griegos hicieron muchos descubrimientos que hoy consideraríamos parte del cálculo, pero sobre todo el cálculo integral, que se tratará en el módulo Integración. Los matemáticos indios de Kerala habían desarrollado polinomios de Taylor para funciones como \(\sin x\) y \(\cos x\) antes de 1500. (Véase el artículo ¿Se inventó el cálculo en la India? en la sección de Referencias).

A principios del siglo XVII, Fermat desarrolló un método llamado de adecuación para encontrar dónde la derivada de una función es cero, es decir, para resolver \(f'(x) = 0\). Pero no fue hasta Newton y Leibniz que los gradientes de las tangentes a las curvas pudieron ser calculados en general.

leonhard euler

para un objeto que se mueve a velocidad constante. La velocidad de un coche, medida por el velocímetro, es la derivada de la distancia recorrida por el coche en función del tiempo. El cálculo es una herramienta matemática para tratar esta situación compleja pero natural y familiar.

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La derivada de una curva definida por la función f(x) puede considerarse como la pendiente, o el ángulo, de la secante entre dos puntos de la curva en x y x+h, dejando que la separación h entre ellos se reduzca a cero.

Hay dos tipos de integral en el cálculo, la indefinida y la definida. La integral indefinida es simplemente la antiderivada. Es decir, F es una antiderivada de f cuando f es una derivada de F. (Este uso de mayúsculas y minúsculas es común en el cálculo. La letra minúscula representa la derivada de la mayúscula). La integral definida evalúa el efecto acumulativo de muchos cambios pequeños en una cantidad. El ejemplo más sencillo es la fórmula

para calcular la distancia que recorre un coche durante un periodo de tiempo en el que viaja a velocidad constante. La distancia recorrida es el efecto acumulativo de las pequeñas distancias recorridas en cada instante. El cálculo también es capaz de tratar la situación natural en la que el coche se mueve con velocidad cambiante.

ejemplo de cálculo integral

El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa de las tasas de cambio y el movimiento. Surgió del deseo de comprender diversos fenómenos físicos, como las órbitas de los planetas y los efectos de la gravedad. El éxito inmediato del cálculo en la formulación de leyes físicas y la predicción de sus consecuencias llevó al desarrollo de una nueva división de las matemáticas llamada análisis, de la que el cálculo sigue siendo una parte importante. En la actualidad, el cálculo es el lenguaje esencial de la ciencia y la ingeniería, ya que proporciona los medios para expresar las leyes físicas en términos matemáticos. Como herramienta científica, tiene un valor incalculable en el análisis posterior de las leyes físicas, en la predicción del comportamiento de los sistemas eléctricos y mecánicos regidos por esas leyes y en el descubrimiento de nuevas leyes.

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El cálculo se divide naturalmente en dos partes, el cálculo diferencial y el cálculo integral. El cálculo diferencial se ocupa de hallar la velocidad instantánea a la que cambia una cantidad con respecto a otra, denominada derivada de la primera cantidad con respecto a la segunda. Por ejemplo, determinar la velocidad de un cuerpo que cae en un instante de tiempo determinado, por ejemplo la de un paracaidista o un saltador de bungi, equivale a calcular la tasa instantánea de cambio de su posición con respecto al tiempo. En general, la evaluación de la derivada de una función, f(x), implica encontrar otra función, f'(x), tal que f'(x) sea igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de f(x) en cada x. Esto se consigue, para cada 2, determinando la pendiente de un segmento de recta de aproximación en el límite en que su longitud se aproxima a cero.

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Este artículo trata del concepto de integral definida en el cálculo. Para la integral indefinida, véase antiderivada. Para el conjunto de números, véase entero. Para otros usos, véase Integral (desambiguación).

En matemáticas, una integral asigna números a las funciones de manera que describe el desplazamiento, el área, el volumen y otros conceptos que surgen al combinar datos infinitesimales. El proceso de encontrar integrales se llama integración. Junto con la diferenciación, la integración es una operación fundamental y esencial del cálculo,[a] y sirve como herramienta para resolver problemas en matemáticas y física que implican el área de una forma arbitraria, la longitud de una curva y el volumen de un sólido, entre otros.

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Las integrales enumeradas aquí son las denominadas integrales definidas, que pueden interpretarse como el área con signo de la región del plano limitada por la gráfica de una función dada entre dos puntos de la recta real. Convencionalmente, las áreas por encima del eje horizontal del plano son positivas, mientras que las áreas por debajo son negativas. Las integrales también hacen referencia al concepto de antiderivada, una función cuya derivada es la función dada. En este caso, se llaman integrales indefinidas. El teorema fundamental del cálculo relaciona las integrales definidas con la diferenciación y proporciona un método para calcular la integral definida de una función cuando se conoce su antiderivada.

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