Ecuacion diferencial homogenea ejercicios resueltos

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Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds y =ky\text{.})

Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en la forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.

Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces

En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.

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ecuación diferencial parcial

24) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial \( 8\dfrac{dx}{dt}=-2\cos(2t)-\cos(4t)\) que pasa por \( (π,π)\), dado que \( x=C-\frac{1}{8}{sin(2t)-\frac{1}{32}{sin(4t)\} es una solución general.

Recuerda que una familia de soluciones incluye soluciones de una ecuación diferencial que difieren por una constante. Para los ejercicios 48 – 52, utilice su calculadora para graficar una familia de soluciones de la ecuación diferencial dada. Utilice las condiciones iniciales desde \( y(t=0)=-10\) hasta \( y(t=0)=10\) aumentando en \( 2\). ¿Hay algún punto crítico en el que el comportamiento de la solución empiece a cambiar?

54) En el problema anterior, si la velocidad inicial de la pelota lanzada al aire es \( a=25\) pies/s, escribe la solución particular de la velocidad de la pelota. Resuelve para encontrar el momento en que la pelota llega al suelo.

56) [T] Lanzas una pelota de masa \( 1\) kilogramo hacia arriba con una velocidad de \( a=25\) m/s en Marte, donde la fuerza de gravedad es \( g=-3,711\) m/s2. Utiliza tu calculadora para aproximar cuánto tiempo está la pelota en el aire en Marte.

ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas pdf

24) Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial \( 8\dfrac{dx}{dt}=-2\cos(2t)-\cos(4t)\) que pasa por \( (π,π)\), dado que \( x=C-\frac{1}{8}{sin(2t)-\frac{1}{32}{sin(4t)\} es una solución general.

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Recuerda que una familia de soluciones incluye soluciones de una ecuación diferencial que difieren por una constante. Para los ejercicios 48 – 52, utilice su calculadora para graficar una familia de soluciones de la ecuación diferencial dada. Utilice las condiciones iniciales desde \( y(t=0)=-10\) hasta \( y(t=0)=10\) aumentando en \( 2\). ¿Hay algún punto crítico en el que el comportamiento de la solución empiece a cambiar?

54) En el problema anterior, si la velocidad inicial de la pelota lanzada al aire es \( a=25\) pies/s, escribe la solución particular de la velocidad de la pelota. Resuelve para encontrar el momento en que la pelota llega al suelo.

56) [T] Lanzas una pelota de masa \( 1\) kilogramo hacia arriba con una velocidad de \( a=25\) m/s en Marte, donde la fuerza de gravedad es \( g=-3,711\) m/s2. Utiliza tu calculadora para aproximar cuánto tiempo está la pelota en el aire en Marte.

la ecuación diferencial lineal

se convierte en una ecuación separable trasladando el origen del sistema de coordenadas al punto de intersección de las rectas dadas. Si estas rectas son paralelas, la ecuación diferencial se transforma en ecuación separable utilizando el cambio de variable:

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Es fácil ver que los polinomios \(P\left( {x,y} \right)\N y \(Q\left( {x,y} \right),\N respectivamente, en \N(dx\) y \N(dy,\N) son funciones homogéneas de primer orden. Por lo tanto, la ecuación diferencial original también es homogénea.

\N-[int {\frac{{du}} {{u\left( {\ln u – 1} \right)}} = \int {\frac{{dx}}{x}} \N – Flecha derecha \N -int {{frac} {{izquierda( {ln u} {derecha)}} {{ln u – 1}} = \int {{frac} {{x}} {x} .\N – Flecha derecha \N -int {\frac( {ln u – 1} \ derecha)}{{ln u – 1}} = \int {\frac{dx}{x}} .\]

\[\ln\left| {\ln u – 1} \N – derecha = \ln \ln izquierda| x \ln derecha| + \ln {C_1},\; \ln flecha derecha \ln izquierda| {\ln u – 1} \right| = \ln \left| {{C_1}x} \right|,\\\\️; \rightarrow \ln u – 1 = \pm {C_1}x,\️; \rightarrow \ln u = 1 \pm {C_1}x;\️; \text{or};\️;u = {e^{1 \pm {C_1}x}.\️]

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